函数定义域单调性题目及答案

函数定义域单调性题目及答案

在学习函数的单调性时，我们经常会遇到一类问题：给定函数的定义域，判断函数在这个定义域上的单调性。下面我们就来看一个例子，介绍如何解决这类问题。

例题：设函数$f(x)=\dfrac$，求函数$f(x)$在定义域$(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty)$上的单调性。

解答：

首先，我们来看一下函数的定义域：$(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty)$。这个定义域可以拆分成两个区间：$(-\infty,-2)$和$(-2,+\infty)$。因此，我们需要分别讨论函数在这两个区间内的单调性。

1. $x\in(-\infty,-2)$

对于$x\in(-\infty,-2)$，我们可以将函数$f(x)$写成：

$$f(x)=\dfrac=\dfrac=2-\dfrac$$

显然，$x+2<0$，因此$\dfrac>0$。所以，$f(x)$的单调性取决于$2-\dfrac$的单调性。

我们可以发现，$2-\dfrac$在$(-\infty,-2)$上是单调递减的。因此，函数$f(x)$在$(-\infty,-2)$上是单调递减的。

2. $x\in(-2,+\infty)$

对于$x\in(-2,+\infty)$，我们可以将函数$f(x)$写成：

$$f(x)=\dfrac$$

为了判断$f(x)$的单调性，我们可以对$x$的取值范围做进一步分析。

当$x$取得越来越小时，$\dfrac$的值越来越小。因此，函数$f(x)$在$(-2,+\infty)$上是单调递减的。

综上所述，函数$f(x)$在定义域$(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty)$上是单调递减的。